mrs, εχουμε αντιστοιχο στα ελληνικα ;ρ
ειναι το κερακι
ενα πολύ δύσκολο, ας το αφησω να αιωρειται, μπορειτε να συνεχισετε ;Δ
Δύο ακέραιοι αριθμοί, μ και ν, κάθε ένας μεταξύ 2 και 20, έχουν επιλεχτεί. Το γινόμενο, μ*ν, δίνεται στον μαθηματικό Γ. Το άθροισμα, μ + ν, δίνονται στον μαθηματικό Α. Η συνομιλία τους είναι η ακόλουθη:
Α: "ξέρω ότι δεν ξέρετε το άθροισμα."
Γ: "τώρα ξέρω το άθροισμα."
Α: "και τώρα ξέρω ποιο είναι το γινόμενο."
Ποιοι είναι οι αριθμοί;
Ξεκινάω από τις δηλώσεις και συνεχίζω, σπάζοντας μία - μία σε συμπεράσματα.
Α: "ξέρω ότι δεν ξέρετε το άθροισμα."
Αυτό σημαίνει ότι ο Γ δε μπορεί να γνωρίζει τους αριθμούς. Αλλιώς θα ήξερε το άθροισμα. Αυτό σημαίνει ότι
(1) Δε μπορεί το γινόμενό τους να είναι τετράγωνο πρώτου αριθμού, αλλιώς ο Γ που ξέρει το γινόμενο θα γνώριζε ότι είναι μ=ν άρα και το άθροισμά τους.
(2) Δε μπορεί ΚΑΙ οι δύο αριθμοί να είναι πρώτοι αριθμοί, γιατί το γινόμενό τους θα ήταν γινόμενο πρώτων αριθμών και ο Γ που ξέρει το γινόμενο θα ήξερε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί. (Again, από τη στιγμή που ο Α του δηλώνει ότι δεν ξέρει το άθροισμα, αυτό σημαίνει ότι ο Γ δε μπορεί να γνωρίζει τους αριθμούς.)
(3) Δε μπορεί οι δύο αριθμοί να έχουν γινόμενο που προκύπτει από διαφορετικά ζευγάρια, εκ των οποίων μόνο το ένα προκύπτει από αριθμούς μεταξύ 2 και 20, αλλιώς ομοίως ο Γ θα γνώριζε απευθείας τους αριθμούς άρα και το άθροισμά τους.
(4) Δε μπορεί το γινόμενο μ*ν να είναι κύβος πρώτου αριθμού, αλλιώς ο Γ θα γνώριζε απευθείας ότι το ζευγάρι είναι πρώτος αριθμός και τετράγωνο του πρώτου αριθμού (π.χ 4, 16), οπότε θα ήξερε τα δύο νούμερα.
(5) Δε μπορεί το γινόμενο να είναι τέταρτη δύναμη πρώτου αριθμού, ακριβώς για τον ίδιο λόγο. (not so sure, tho)
Σημειώνω εδώ ότι η τελευταία δήλωση του (Α) σημαίνει ότι ούτε εκείνος μπορεί να γνωρίζει εξ αρχής τους δύο αριθμούς. Αλλιώς θα μπορούσε να τους ξέρει πριν τη συζήτηση. Άρα, αποκλείονται τα ζευγάρια [2,20], [20,19].
Επίσης:
(6) Δε μπορεί το άθροισμα να είναι ζυγός αριθμός γιατί κάθε ζυγός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών (π.χ. 16 = 3 + 13, 22 = 3 + 19, κοκ)
(7) Από τη στιγμή που ο Α είναι σίγουρος ότι ο Γ δε μπορεί να γνωρίζει το άθροισμα, aka τους αριθμούς, ξέρει ότι το άθροισμα που ο ίδιος γνωρίζει δε μπορεί να προκύπτει από αριθμούς, το γινόμενο των οποίων δεν ικανοποιεί τις συνθήκες (1) έως (5), γιατί έτσι ο Γ θα γνώριζε τους αριθμούς.
Από την (6) και την (7) και μόνο, δεδομένου ότι τα πιθανά αθροίσματα είναι από 2+3=5 έως 20+18=38, τα δυνατά αθροίσματα που μας προκύπτουν είναι: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.
5 =
2 + 3 απορρ. λόγω (2)
7 =
2 + 5, 3 + 4 απορρ. λόγω (2)
9 =
2 + 7, .... απορρ. λόγω (2)
11 = ...13 =
2 + 11, απορρ. λόγω (2)
15 =
2 + 13, απορρ. λόγω (2)
17 = ...19 =
2 + 17, απορρ. λόγω (2)
21 =
2 + 19, απορρ. λόγω (2)
23 =
19 + 4 [19 * 4 = 76 = 19 * 4 ή 2 * 38] άρα απορρ. λόγω (3)
25 =
2 + 23, απορρ. λόγω (2)
27 = 20 + 7 [20 * 7 = 140 = 20 * 7 ή 10 * 14],
19 + 6 [19 * 6 = 114 = 19 * 6 ή κάτι άλλο μη αποδεκτό],
άρα απορρ. λόγω (3)
29 = 20 + 9 [20 * 9 = 180 = 20 * 9 ή 10 * 18],
19 + 10 [19 * 10 = 190 = 19 * 10 ή κάτι άλλο μη αποδεκτό].
άρα απορρ. λόγω (3)
31 =
2 + 29, απορρ. λόγω (2)
33 =
2 + 31, απορρ. λόγω (2)
35 = 19 + 16, 18 + 17, 20 + 15. 19 * 16 = 304 = 19 * 16 ή 38 * 8 κλπ, οπότε απορρ. λόγω (3)
37 =
19 + 18. 19*18 = 342 = 19 * 18 ή 38 * 9 ή κλπ, οπότε απορρ. λόγω (3)
Άρα μας μένουν τα αθροίσματα
11 και
17.
Νομίζω ότι κάπως προκύπτει, από τα παραπάνω, οποιοδήποτε άθροισμα πάνω από 20 έπρεπε να απορρίπτεται (?).
Σημείωση: Για την κατανόηση της αξιοποίησης του (3), αρκεί να καταλάβουμε ότι όταν το άθροισμα μπορεί να προκύπτει από ένα ζεύγος αριθμών, το γινόμενο των οποίων μπορεί να προδώσει αυτό το ζεύγος και μόνο, προφανώς απορρίπεται. Εν προκειμένω, ένα δεδομένο γινόμενο από το εν λόγω ζευγάρι, μπορεί να προκύψει αν υποδιπλασιάσουμε τον μεγαλύτερο εκ των δύο αριθμών, οπότε θα διπλασιαστεί ο μικρότερος. Αν όμως ο μεγαλύτερος είναι πρώτος, δε μπορεί να υποδιπλασιαστεί, παρά μόνο να διπλασιαστεί (και, αντίστοιχα, να υποδιπλασιαστεί ο μικρότερος) κάτι που, όπως είδαμε, μας έβγαζε εκτός των ορίων μ,ν € [2, 20]. Ναι, πούστη πίκα, € = ανήκει (βαριέμαι να ψάχνω τώρα χαρακτήρες στο ίντερνετ).
Γ: "τώρα ξέρω το άθροισμα."Αφού ο Γ καταλαβαίνει το άθροισμα, αυτό πάει να πει ότι από τους δικούς του εναπομείναντες συνδυασμούς, ορισμένοι καταλήγουν σε ένα μόνο εκ των δύο αθροισμάτων, ή αλλιώς δεν υπάρχουν συνδυασμοί που να δίνουν το άλλο από τα δύο αθροίσματα.
Όμως έχουμε:
11 = [2,9], [3,8], [4,7], [5,6] ή 18, 24, 28, 30 τα αντίστοιχα γινόμενα.
17 = [2, 15], [3,14], [4,13], [5,12], [6,11], [7,10], [8,9] ή 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72 τα αντίστοιχα γινόμενα.
Tο γινόμενο 30 διαγράφεται (με τους αντίστοιχους συνδυασμούς), γιατί εμφανίζει 2 συνδυασμούς που ικανοποιούν τα δύο διαφορετικά αθροίσματα. Άτοπο, γιατί ο Γ ξέρει τώρα το άθροισμα.
Το γινόμενο 52 διαγράφεται, γιατί 52 = 4 * 13 ή
2 * 26, άρα ο Γ θα ήξερε εξ αρχής τους δύο αριθμούς.
Το γινόμενο 18 διαγράφεται, γιατί 18 = 2 * 9 ΜΟΝΟ, άρα ο Γ θα γνώριζε εξ αρχής τους δύο αριθμούς.
Το ζεύγος [6, 11] διαγράφεται, γιατί 6 * 11 = 66 = 6 * 11 ή
3 * 22, άρα ο Γ θα ήξερε εξ αρχής τους δύο αριθμούς.
Το [3,8] δίνει γινόμενο 24 = 3 * 8 ή 6 * 4 ή 12 * 2, με πιθανά αθροίσματα 11, 10, 24. Τα 10, 24 είναι ζυγοί, άρα ο Γ θα ήξερε το ζευγάρι πριν μάθει ότι δε γνωρίζει το άθροισμα. Απορρ. λόγω (6).
Το [4,7] δίνει γινόμενο 28 = 4 * 7 ή 2 * 14, με πιθανά αθροίσματα 11, 16. Το 16 είναι ζυγός, άρα ο Γ θα ήξερε το ζευγάρι πριν μάθει ότι δε γνωρίζει το άθροισμα. Απορρ. λόγω (6).
Το [8,9] δίνει γινόμενο 72 = 9 * 8 ή 18 * 4, με πιθανά αθροίσματα 17, 22. Το 22 είναι ζυγός, άρα ο Γ θα ήξερε το ζευγάρι πριν μάθει ότι δε γνωρίζει το άθροισμα. Απορρ. λόγω (6).
Άρα απομένουν:
17 = [3,14], [5,12], [7,10] ή 42, 60, 70, τα αντίστοιχα γινόμενα.
Και το εν λόγω άθροισμα είναι
17.
Α: "και τώρα ξέρω ποιο είναι το γινόμενο."Ο Α γνωρίζει ότι το άθροισμα είναι 17. Άρα πρέπει να υπάρχει μόνο ένα γινόμενο το οποίο να είναι αποδεκτό από τα 42, 60, 70.
42 = 3 * 14 ή 6 * 7
60 = 6 * 10 ή 3 * 20 ή 12 * 5
70 = 7 * 10 ή 14 * 5
Κάπου, κάτι μου διαφεύγει...
Edit: υποθέτω, χωρίς να μπαίνω στον κόπο να σκέφτομαι τις υποθέσεις εξ αρχής, ότι το 14+5 = 19 έχει a priori απορριφθεί σαν άθροισμα πρώτων αριθμών, άρα οι πιθανοί συνδυασμοί με άθροισμα 19έχουν απορριφθεί επίσης a priori από τον Γ, κάτι που ο Α γνωρίζει. Το ίδιο για τους 20+3 και 10+6. Άρα ο συνδυασμός είναι ο [3,14];
Αν ναι, τότε ο Α ήξερε το 17 και ο Γ το 42. Και κανένας δε θα μπορούσε να γνωρίζει τίποτα, πριν τη συζήτηση.
Τέλος πάντων, παίζει να κάμω λάθος, αλλά μέχρι ενός σημείου πρέπει να βγαίνει έτσι ακριβώς. Ξέρω ότι έμπλεξα τις υποθέσεις, όπως και ότι έκανα κάποιες που δε χρειάζονταν.
